\(\int \frac {\cos ^6(e+f x)}{(a+b \sec ^2(e+f x))^{3/2}} \, dx\) [282]

Optimal result

Integrand size = 25, antiderivative size = 271 \[ \int \frac {\cos ^6(e+f x)}{\left (a+b \sec ^2(e+f x)\right )^{3/2}} \, dx=\frac {\left (5 a^3-9 a^2 b+15 a b^2-35 b^3\right ) \arctan \left (\frac {\sqrt {a} \tan (e+f x)}{\sqrt {a+b+b \tan ^2(e+f x)}}\right )}{16 a^{9/2} f}+\frac {\left (15 a^2-22 a b+35 b^2\right ) \cos (e+f x) \sin (e+f x)}{48 a^3 f \sqrt {a+b+b \tan ^2(e+f x)}}+\frac {(5 a-7 b) \cos ^3(e+f x) \sin (e+f x)}{24 a^2 f \sqrt {a+b+b \tan ^2(e+f x)}}+\frac {\cos ^5(e+f x) \sin (e+f x)}{6 a f \sqrt {a+b+b \tan ^2(e+f x)}}+\frac {b \left (15 a^3-17 a^2 b+25 a b^2+105 b^3\right ) \tan (e+f x)}{48 a^4 (a+b) f \sqrt {a+b+b \tan ^2(e+f x)}} \]

[Out]

1/16*(5*a^3-9*a^2*b+15*a*b^2-35*b^3)*arctan(a^(1/2)*tan(f*x+e)/(a+b+b*tan(f*x+e)^2)^(1/2))/a^(9/2)/f+1/48*(15*
a^2-22*a*b+35*b^2)*cos(f*x+e)*sin(f*x+e)/a^3/f/(a+b+b*tan(f*x+e)^2)^(1/2)+1/24*(5*a-7*b)*cos(f*x+e)^3*sin(f*x+
e)/a^2/f/(a+b+b*tan(f*x+e)^2)^(1/2)+1/6*cos(f*x+e)^5*sin(f*x+e)/a/f/(a+b+b*tan(f*x+e)^2)^(1/2)+1/48*b*(15*a^3-
17*a^2*b+25*a*b^2+105*b^3)*tan(f*x+e)/a^4/(a+b)/f/(a+b+b*tan(f*x+e)^2)^(1/2)

Rubi [A] (verified)

Time = 0.36 (sec) , antiderivative size = 271, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 8, number of rules used = 6, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.240, Rules used = {4231, 425, 541, 12, 385, 209} \[ \int \frac {\cos ^6(e+f x)}{\left (a+b \sec ^2(e+f x)\right )^{3/2}} \, dx=\frac {(5 a-7 b) \sin (e+f x) \cos ^3(e+f x)}{24 a^2 f \sqrt {a+b \tan ^2(e+f x)+b}}+\frac {\left (15 a^2-22 a b+35 b^2\right ) \sin (e+f x) \cos (e+f x)}{48 a^3 f \sqrt {a+b \tan ^2(e+f x)+b}}+\frac {\left (5 a^3-9 a^2 b+15 a b^2-35 b^3\right ) \arctan \left (\frac {\sqrt {a} \tan (e+f x)}{\sqrt {a+b \tan ^2(e+f x)+b}}\right )}{16 a^{9/2} f}+\frac {b \left (15 a^3-17 a^2 b+25 a b^2+105 b^3\right ) \tan (e+f x)}{48 a^4 f (a+b) \sqrt {a+b \tan ^2(e+f x)+b}}+\frac {\sin (e+f x) \cos ^5(e+f x)}{6 a f \sqrt {a+b \tan ^2(e+f x)+b}} \]

[In]

Int[Cos[e + f*x]^6/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2),x]

[Out]

((5*a^3 - 9*a^2*b + 15*a*b^2 - 35*b^3)*ArcTan[(Sqrt[a]*Tan[e + f*x])/Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]])/(16*a^(9
/2)*f) + ((15*a^2 - 22*a*b + 35*b^2)*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(48*a^3*f*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]) + ((
5*a - 7*b)*Cos[e + f*x]^3*Sin[e + f*x])/(24*a^2*f*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]) + (Cos[e + f*x]^5*Sin[e + f*
x])/(6*a*f*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2]) + (b*(15*a^3 - 17*a^2*b + 25*a*b^2 + 105*b^3)*Tan[e + f*x])/(48*a^4
*(a + b)*f*Sqrt[a + b + b*Tan[e + f*x]^2])

Rule 12

Int[(a_)*(u_), x_Symbol] :> Dist[a, Int[u, x], x] /; FreeQ[a, x] &&  !MatchQ[u, (b_)*(v_) /; FreeQ[b, x]]

Rule 209

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(1/(Rt[a, 2]*Rt[b, 2]))*ArcTan[Rt[b, 2]*(x/Rt[a, 2])], x] /;
FreeQ[{a, b}, x] && PosQ[a/b] && (GtQ[a, 0] || GtQ[b, 0])

Rule 385

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)/((c_) + (d_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> Subst[Int[1/(c - (b*c - a*d)*x^n), x]
, x, x/(a + b*x^n)^(1/n)] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[n*p + 1, 0] && IntegerQ[n]

Rule 425

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> Simp[(-b)*x*(a + b*x^n)^(p + 1)*
((c + d*x^n)^(q + 1)/(a*n*(p + 1)*(b*c - a*d))), x] + Dist[1/(a*n*(p + 1)*(b*c - a*d)), Int[(a + b*x^n)^(p + 1
)*(c + d*x^n)^q*Simp[b*c + n*(p + 1)*(b*c - a*d) + d*b*(n*(p + q + 2) + 1)*x^n, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c,
d, n, q}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && LtQ[p, -1] &&  !( !IntegerQ[p] && IntegerQ[q] && LtQ[q, -1]) && IntBinomi
alQ[a, b, c, d, n, p, q, x]

Rule 541

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> Simp[(
-(b*e - a*f))*x*(a + b*x^n)^(p + 1)*((c + d*x^n)^(q + 1)/(a*n*(b*c - a*d)*(p + 1))), x] + Dist[1/(a*n*(b*c - a
*d)*(p + 1)), Int[(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^q*Simp[c*(b*e - a*f) + e*n*(b*c - a*d)*(p + 1) + d*(b*e - a*
f)*(n*(p + q + 2) + 1)*x^n, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n, q}, x] && LtQ[p, -1]

Rule 4231

Int[sec[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_)*((a_) + (b_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_))^(p_), x_Symbol] :> With[{ff = Fre
eFactors[Tan[e + f*x], x]}, Dist[ff/f, Subst[Int[(1 + ff^2*x^2)^(m/2 - 1)*ExpandToSum[a + b*(1 + ff^2*x^2)^(n/
2), x]^p, x], x, Tan[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, e, f, p}, x] && IntegerQ[m/2] && IntegerQ[n/2]

Rubi steps \begin{align*} \text {integral}& = \frac {\text {Subst}\left (\int \frac {1}{\left (1+x^2\right )^4 \left (a+b+b x^2\right )^{3/2}} \, dx,x,\tan (e+f x)\right )}{f} \\ & = \frac {\cos ^5(e+f x) \sin (e+f x)}{6 a f \sqrt {a+b+b \tan ^2(e+f x)}}-\frac {\text {Subst}\left (\int \frac {-5 a+b-6 b x^2}{\left (1+x^2\right )^3 \left (a+b+b x^2\right )^{3/2}} \, dx,x,\tan (e+f x)\right )}{6 a f} \\ & = \frac {(5 a-7 b) \cos ^3(e+f x) \sin (e+f x)}{24 a^2 f \sqrt {a+b+b \tan ^2(e+f x)}}+\frac {\cos ^5(e+f x) \sin (e+f x)}{6 a f \sqrt {a+b+b \tan ^2(e+f x)}}+\frac {\text {Subst}\left (\int \frac {15 a^2-2 a b+7 b^2+4 (5 a-7 b) b x^2}{\left (1+x^2\right )^2 \left (a+b+b x^2\right )^{3/2}} \, dx,x,\tan (e+f x)\right )}{24 a^2 f} \\ & = \frac {\left (15 a^2-22 a b+35 b^2\right ) \cos (e+f x) \sin (e+f x)}{48 a^3 f \sqrt {a+b+b \tan ^2(e+f x)}}+\frac {(5 a-7 b) \cos ^3(e+f x) \sin (e+f x)}{24 a^2 f \sqrt {a+b+b \tan ^2(e+f x)}}+\frac {\cos ^5(e+f x) \sin (e+f x)}{6 a f \sqrt {a+b+b \tan ^2(e+f x)}}-\frac {\text {Subst}\left (\int \frac {-15 a^3-3 a^2 b-a b^2+35 b^3-2 b \left (15 a^2-22 a b+35 b^2\right ) x^2}{\left (1+x^2\right ) \left (a+b+b x^2\right )^{3/2}} \, dx,x,\tan (e+f x)\right )}{48 a^3 f} \\ & = \frac {\left (15 a^2-22 a b+35 b^2\right ) \cos (e+f x) \sin (e+f x)}{48 a^3 f \sqrt {a+b+b \tan ^2(e+f x)}}+\frac {(5 a-7 b) \cos ^3(e+f x) \sin (e+f x)}{24 a^2 f \sqrt {a+b+b \tan ^2(e+f x)}}+\frac {\cos ^5(e+f x) \sin (e+f x)}{6 a f \sqrt {a+b+b \tan ^2(e+f x)}}+\frac {b \left (15 a^3-17 a^2 b+25 a b^2+105 b^3\right ) \tan (e+f x)}{48 a^4 (a+b) f \sqrt {a+b+b \tan ^2(e+f x)}}-\frac {\text {Subst}\left (\int -\frac {3 (a+b) \left (5 a^3-9 a^2 b+15 a b^2-35 b^3\right )}{\left (1+x^2\right ) \sqrt {a+b+b x^2}} \, dx,x,\tan (e+f x)\right )}{48 a^4 (a+b) f} \\ & = \frac {\left (15 a^2-22 a b+35 b^2\right ) \cos (e+f x) \sin (e+f x)}{48 a^3 f \sqrt {a+b+b \tan ^2(e+f x)}}+\frac {(5 a-7 b) \cos ^3(e+f x) \sin (e+f x)}{24 a^2 f \sqrt {a+b+b \tan ^2(e+f x)}}+\frac {\cos ^5(e+f x) \sin (e+f x)}{6 a f \sqrt {a+b+b \tan ^2(e+f x)}}+\frac {b \left (15 a^3-17 a^2 b+25 a b^2+105 b^3\right ) \tan (e+f x)}{48 a^4 (a+b) f \sqrt {a+b+b \tan ^2(e+f x)}}+\frac {\left (5 a^3-9 a^2 b+15 a b^2-35 b^3\right ) \text {Subst}\left (\int \frac {1}{\left (1+x^2\right ) \sqrt {a+b+b x^2}} \, dx,x,\tan (e+f x)\right )}{16 a^4 f} \\ & = \frac {\left (15 a^2-22 a b+35 b^2\right ) \cos (e+f x) \sin (e+f x)}{48 a^3 f \sqrt {a+b+b \tan ^2(e+f x)}}+\frac {(5 a-7 b) \cos ^3(e+f x) \sin (e+f x)}{24 a^2 f \sqrt {a+b+b \tan ^2(e+f x)}}+\frac {\cos ^5(e+f x) \sin (e+f x)}{6 a f \sqrt {a+b+b \tan ^2(e+f x)}}+\frac {b \left (15 a^3-17 a^2 b+25 a b^2+105 b^3\right ) \tan (e+f x)}{48 a^4 (a+b) f \sqrt {a+b+b \tan ^2(e+f x)}}+\frac {\left (5 a^3-9 a^2 b+15 a b^2-35 b^3\right ) \text {Subst}\left (\int \frac {1}{1+a x^2} \, dx,x,\frac {\tan (e+f x)}{\sqrt {a+b+b \tan ^2(e+f x)}}\right )}{16 a^4 f} \\ & = \frac {\left (5 a^3-9 a^2 b+15 a b^2-35 b^3\right ) \arctan \left (\frac {\sqrt {a} \tan (e+f x)}{\sqrt {a+b+b \tan ^2(e+f x)}}\right )}{16 a^{9/2} f}+\frac {\left (15 a^2-22 a b+35 b^2\right ) \cos (e+f x) \sin (e+f x)}{48 a^3 f \sqrt {a+b+b \tan ^2(e+f x)}}+\frac {(5 a-7 b) \cos ^3(e+f x) \sin (e+f x)}{24 a^2 f \sqrt {a+b+b \tan ^2(e+f x)}}+\frac {\cos ^5(e+f x) \sin (e+f x)}{6 a f \sqrt {a+b+b \tan ^2(e+f x)}}+\frac {b \left (15 a^3-17 a^2 b+25 a b^2+105 b^3\right ) \tan (e+f x)}{48 a^4 (a+b) f \sqrt {a+b+b \tan ^2(e+f x)}} \\ \end{align*}

Mathematica [C] (warning: unable to verify)

Result contains higher order function than in optimal. Order 6 vs. order 3 in optimal.

Time = 17.72 (sec) , antiderivative size = 2068, normalized size of antiderivative = 7.63 \[ \int \frac {\cos ^6(e+f x)}{\left (a+b \sec ^2(e+f x)\right )^{3/2}} \, dx=\text {Result too large to show} \]

[In]

Integrate[Cos[e + f*x]^6/(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2),x]

[Out]

(3*(a + b)*AppellF1[1/2, -4, 3/2, 3/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)]*Cos[e + f*x]^14*Sin[e + f*x
])/(2*f*Sqrt[a + 2*b + a*Cos[2*(e + f*x)]]*(a + b*Sec[e + f*x]^2)^(3/2)*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)*(3*(a + b)*
AppellF1[1/2, -4, 3/2, 3/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)] + (3*a*AppellF1[3/2, -4, 5/2, 5/2, Sin
[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)] - 8*(a + b)*AppellF1[3/2, -3, 3/2, 5/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*
x]^2)/(a + b)])*Sin[e + f*x]^2)*((3*a*(a + b)*AppellF1[1/2, -4, 3/2, 3/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(
a + b)]*Cos[e + f*x]^9*Sin[e + f*x]^2)/(Sqrt[a + 2*b + a*Cos[2*(e + f*x)]]*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)^2*(3*(a
+ b)*AppellF1[1/2, -4, 3/2, 3/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)] + (3*a*AppellF1[3/2, -4, 5/2, 5/2
, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)] - 8*(a + b)*AppellF1[3/2, -3, 3/2, 5/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e
+ f*x]^2)/(a + b)])*Sin[e + f*x]^2)) + (3*(a + b)*AppellF1[1/2, -4, 3/2, 3/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]
^2)/(a + b)]*Cos[e + f*x]^9)/(2*Sqrt[a + 2*b + a*Cos[2*(e + f*x)]]*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)*(3*(a + b)*Appel
lF1[1/2, -4, 3/2, 3/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)] + (3*a*AppellF1[3/2, -4, 5/2, 5/2, Sin[e +
f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)] - 8*(a + b)*AppellF1[3/2, -3, 3/2, 5/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)
/(a + b)])*Sin[e + f*x]^2)) - (12*(a + b)*AppellF1[1/2, -4, 3/2, 3/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a +
b)]*Cos[e + f*x]^7*Sin[e + f*x]^2)/(Sqrt[a + 2*b + a*Cos[2*(e + f*x)]]*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)*(3*(a + b)*A
ppellF1[1/2, -4, 3/2, 3/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)] + (3*a*AppellF1[3/2, -4, 5/2, 5/2, Sin[
e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)] - 8*(a + b)*AppellF1[3/2, -3, 3/2, 5/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x
]^2)/(a + b)])*Sin[e + f*x]^2)) + (3*(a + b)*Cos[e + f*x]^8*Sin[e + f*x]*((a*f*AppellF1[3/2, -4, 5/2, 5/2, Sin
[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)]*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(a + b) - (8*f*AppellF1[3/2, -3, 3/2, 5/2,
Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)]*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/3))/(2*f*Sqrt[a + 2*b + a*Cos[2*(e + f
*x)]]*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)*(3*(a + b)*AppellF1[1/2, -4, 3/2, 3/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a
+ b)] + (3*a*AppellF1[3/2, -4, 5/2, 5/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)] - 8*(a + b)*AppellF1[3/2,
-3, 3/2, 5/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)])*Sin[e + f*x]^2)) - (3*(a + b)*AppellF1[1/2, -4, 3/
2, 3/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)]*Cos[e + f*x]^8*Sin[e + f*x]*(2*f*(3*a*AppellF1[3/2, -4, 5/
2, 5/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)] - 8*(a + b)*AppellF1[3/2, -3, 3/2, 5/2, Sin[e + f*x]^2, (a
*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)])*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x] + 3*(a + b)*((a*f*AppellF1[3/2, -4, 5/2, 5/2, Sin[e + f*x
]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)]*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(a + b) - (8*f*AppellF1[3/2, -3, 3/2, 5/2, Sin[e +
f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)]*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/3) + Sin[e + f*x]^2*(3*a*((3*a*f*AppellF1[5/2,
-4, 7/2, 7/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)]*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(a + b) - (24*f*AppellF1
[5/2, -3, 5/2, 7/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)]*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/5) - 8*(a + b)*((9*
a*f*AppellF1[5/2, -3, 5/2, 7/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)]*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x])/(5*(a +
b)) - (18*f*AppellF1[5/2, -2, 3/2, 7/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)]*Cos[e + f*x]*Sin[e + f*x]
)/5))))/(2*f*Sqrt[a + 2*b + a*Cos[2*(e + f*x)]]*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)*(3*(a + b)*AppellF1[1/2, -4, 3/2, 3
/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)] + (3*a*AppellF1[3/2, -4, 5/2, 5/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e +
f*x]^2)/(a + b)] - 8*(a + b)*AppellF1[3/2, -3, 3/2, 5/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)])*Sin[e +
f*x]^2)^2) + (3*a*(a + b)*AppellF1[1/2, -4, 3/2, 3/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)]*Cos[e + f*x]
^8*Sin[e + f*x]*Sin[2*(e + f*x)])/(2*(a + 2*b + a*Cos[2*(e + f*x)])^(3/2)*(a + b - a*Sin[e + f*x]^2)*(3*(a + b
)*AppellF1[1/2, -4, 3/2, 3/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)] + (3*a*AppellF1[3/2, -4, 5/2, 5/2, S
in[e + f*x]^2, (a*Sin[e + f*x]^2)/(a + b)] - 8*(a + b)*AppellF1[3/2, -3, 3/2, 5/2, Sin[e + f*x]^2, (a*Sin[e +
f*x]^2)/(a + b)])*Sin[e + f*x]^2))))

Maple [B] (verified)

Leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. \(1498\) vs. \(2(247)=494\).

Time = 9.78 (sec) , antiderivative size = 1499, normalized size of antiderivative = 5.53

method	result	size
default	\(\text {Expression too large to display}\)	\(1499\)

[In]

int(cos(f*x+e)^6/(a+b*sec(f*x+e)^2)^(3/2),x,method=_RETURNVERBOSE)

[Out]

1/48/f/a^4/(-a)^(1/2)/(a+b)*(b+a*cos(f*x+e)^2)*(8*(-a)^(1/2)*a^4*cos(f*x+e)^6*sin(f*x+e)+8*(-a)^(1/2)*a^3*b*co
s(f*x+e)^6*sin(f*x+e)+10*(-a)^(1/2)*a^4*cos(f*x+e)^4*sin(f*x+e)-4*(-a)^(1/2)*a^3*b*cos(f*x+e)^4*sin(f*x+e)-14*
(-a)^(1/2)*a^2*b^2*cos(f*x+e)^4*sin(f*x+e)+15*(-a)^(1/2)*a^4*cos(f*x+e)^2*sin(f*x+e)-7*(-a)^(1/2)*a^3*b*cos(f*
x+e)^2*sin(f*x+e)+13*(-a)^(1/2)*a^2*b^2*cos(f*x+e)^2*sin(f*x+e)+35*(-a)^(1/2)*a*b^3*cos(f*x+e)^2*sin(f*x+e)+15
*((b+a*cos(f*x+e)^2)/(1+cos(f*x+e))^2)^(1/2)*ln(4*(-a)^(1/2)*((b+a*cos(f*x+e)^2)/(1+cos(f*x+e))^2)^(1/2)*cos(f
*x+e)+4*(-a)^(1/2)*((b+a*cos(f*x+e)^2)/(1+cos(f*x+e))^2)^(1/2)-4*sin(f*x+e)*a)*a^4*cos(f*x+e)-12*((b+a*cos(f*x
+e)^2)/(1+cos(f*x+e))^2)^(1/2)*ln(4*(-a)^(1/2)*((b+a*cos(f*x+e)^2)/(1+cos(f*x+e))^2)^(1/2)*cos(f*x+e)+4*(-a)^(
1/2)*((b+a*cos(f*x+e)^2)/(1+cos(f*x+e))^2)^(1/2)-4*sin(f*x+e)*a)*a^3*b*cos(f*x+e)+18*((b+a*cos(f*x+e)^2)/(1+co
s(f*x+e))^2)^(1/2)*ln(4*(-a)^(1/2)*((b+a*cos(f*x+e)^2)/(1+cos(f*x+e))^2)^(1/2)*cos(f*x+e)+4*(-a)^(1/2)*((b+a*c
os(f*x+e)^2)/(1+cos(f*x+e))^2)^(1/2)-4*sin(f*x+e)*a)*a^2*b^2*cos(f*x+e)-60*((b+a*cos(f*x+e)^2)/(1+cos(f*x+e))^
2)^(1/2)*ln(4*(-a)^(1/2)*((b+a*cos(f*x+e)^2)/(1+cos(f*x+e))^2)^(1/2)*cos(f*x+e)+4*(-a)^(1/2)*((b+a*cos(f*x+e)^
2)/(1+cos(f*x+e))^2)^(1/2)-4*sin(f*x+e)*a)*a*b^3*cos(f*x+e)-105*((b+a*cos(f*x+e)^2)/(1+cos(f*x+e))^2)^(1/2)*ln
(4*(-a)^(1/2)*((b+a*cos(f*x+e)^2)/(1+cos(f*x+e))^2)^(1/2)*cos(f*x+e)+4*(-a)^(1/2)*((b+a*cos(f*x+e)^2)/(1+cos(f
*x+e))^2)^(1/2)-4*sin(f*x+e)*a)*b^4*cos(f*x+e)+15*(-a)^(1/2)*a^3*b*sin(f*x+e)-17*(-a)^(1/2)*a^2*b^2*sin(f*x+e)
+25*(-a)^(1/2)*a*b^3*sin(f*x+e)+105*(-a)^(1/2)*b^4*sin(f*x+e)+15*((b+a*cos(f*x+e)^2)/(1+cos(f*x+e))^2)^(1/2)*l
n(4*(-a)^(1/2)*((b+a*cos(f*x+e)^2)/(1+cos(f*x+e))^2)^(1/2)*cos(f*x+e)+4*(-a)^(1/2)*((b+a*cos(f*x+e)^2)/(1+cos(
f*x+e))^2)^(1/2)-4*sin(f*x+e)*a)*a^4-12*((b+a*cos(f*x+e)^2)/(1+cos(f*x+e))^2)^(1/2)*ln(4*(-a)^(1/2)*((b+a*cos(
f*x+e)^2)/(1+cos(f*x+e))^2)^(1/2)*cos(f*x+e)+4*(-a)^(1/2)*((b+a*cos(f*x+e)^2)/(1+cos(f*x+e))^2)^(1/2)-4*sin(f*
x+e)*a)*a^3*b+18*((b+a*cos(f*x+e)^2)/(1+cos(f*x+e))^2)^(1/2)*ln(4*(-a)^(1/2)*((b+a*cos(f*x+e)^2)/(1+cos(f*x+e)
)^2)^(1/2)*cos(f*x+e)+4*(-a)^(1/2)*((b+a*cos(f*x+e)^2)/(1+cos(f*x+e))^2)^(1/2)-4*sin(f*x+e)*a)*a^2*b^2-60*((b+
a*cos(f*x+e)^2)/(1+cos(f*x+e))^2)^(1/2)*ln(4*(-a)^(1/2)*((b+a*cos(f*x+e)^2)/(1+cos(f*x+e))^2)^(1/2)*cos(f*x+e)
+4*(-a)^(1/2)*((b+a*cos(f*x+e)^2)/(1+cos(f*x+e))^2)^(1/2)-4*sin(f*x+e)*a)*a*b^3-105*((b+a*cos(f*x+e)^2)/(1+cos
(f*x+e))^2)^(1/2)*ln(4*(-a)^(1/2)*((b+a*cos(f*x+e)^2)/(1+cos(f*x+e))^2)^(1/2)*cos(f*x+e)+4*(-a)^(1/2)*((b+a*co
s(f*x+e)^2)/(1+cos(f*x+e))^2)^(1/2)-4*sin(f*x+e)*a)*b^4)/(a+b*sec(f*x+e)^2)^(3/2)*sec(f*x+e)^3

Fricas [A] (verification not implemented)

none

Time = 4.39 (sec) , antiderivative size = 941, normalized size of antiderivative = 3.47 \[ \int \frac {\cos ^6(e+f x)}{\left (a+b \sec ^2(e+f x)\right )^{3/2}} \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

integrate(cos(f*x+e)^6/(a+b*sec(f*x+e)^2)^(3/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

[1/384*(3*(5*a^4*b - 4*a^3*b^2 + 6*a^2*b^3 - 20*a*b^4 - 35*b^5 + (5*a^5 - 4*a^4*b + 6*a^3*b^2 - 20*a^2*b^3 - 3
5*a*b^4)*cos(f*x + e)^2)*sqrt(-a)*log(128*a^4*cos(f*x + e)^8 - 256*(a^4 - a^3*b)*cos(f*x + e)^6 + 32*(5*a^4 -
14*a^3*b + 5*a^2*b^2)*cos(f*x + e)^4 + a^4 - 28*a^3*b + 70*a^2*b^2 - 28*a*b^3 + b^4 - 32*(a^4 - 7*a^3*b + 7*a^
2*b^2 - a*b^3)*cos(f*x + e)^2 - 8*(16*a^3*cos(f*x + e)^7 - 24*(a^3 - a^2*b)*cos(f*x + e)^5 + 2*(5*a^3 - 14*a^2
*b + 5*a*b^2)*cos(f*x + e)^3 - (a^3 - 7*a^2*b + 7*a*b^2 - b^3)*cos(f*x + e))*sqrt(-a)*sqrt((a*cos(f*x + e)^2 +
b)/cos(f*x + e)^2)*sin(f*x + e)) + 8*(8*(a^5 + a^4*b)*cos(f*x + e)^7 + 2*(5*a^5 - 2*a^4*b - 7*a^3*b^2)*cos(f*
x + e)^5 + (15*a^5 - 7*a^4*b + 13*a^3*b^2 + 35*a^2*b^3)*cos(f*x + e)^3 + (15*a^4*b - 17*a^3*b^2 + 25*a^2*b^3 +
105*a*b^4)*cos(f*x + e))*sqrt((a*cos(f*x + e)^2 + b)/cos(f*x + e)^2)*sin(f*x + e))/((a^7 + a^6*b)*f*cos(f*x +
e)^2 + (a^6*b + a^5*b^2)*f), -1/192*(3*(5*a^4*b - 4*a^3*b^2 + 6*a^2*b^3 - 20*a*b^4 - 35*b^5 + (5*a^5 - 4*a^4*
b + 6*a^3*b^2 - 20*a^2*b^3 - 35*a*b^4)*cos(f*x + e)^2)*sqrt(a)*arctan(1/4*(8*a^2*cos(f*x + e)^5 - 8*(a^2 - a*b
)*cos(f*x + e)^3 + (a^2 - 6*a*b + b^2)*cos(f*x + e))*sqrt(a)*sqrt((a*cos(f*x + e)^2 + b)/cos(f*x + e)^2)/((2*a
^3*cos(f*x + e)^4 - a^2*b + a*b^2 - (a^3 - 3*a^2*b)*cos(f*x + e)^2)*sin(f*x + e))) - 4*(8*(a^5 + a^4*b)*cos(f*
x + e)^7 + 2*(5*a^5 - 2*a^4*b - 7*a^3*b^2)*cos(f*x + e)^5 + (15*a^5 - 7*a^4*b + 13*a^3*b^2 + 35*a^2*b^3)*cos(f
*x + e)^3 + (15*a^4*b - 17*a^3*b^2 + 25*a^2*b^3 + 105*a*b^4)*cos(f*x + e))*sqrt((a*cos(f*x + e)^2 + b)/cos(f*x
+ e)^2)*sin(f*x + e))/((a^7 + a^6*b)*f*cos(f*x + e)^2 + (a^6*b + a^5*b^2)*f)]

Sympy [F]

\[ \int \frac {\cos ^6(e+f x)}{\left (a+b \sec ^2(e+f x)\right )^{3/2}} \, dx=\int \frac {\cos ^{6}{\left (e + f x \right )}}{\left (a + b \sec ^{2}{\left (e + f x \right )}\right )^{\frac {3}{2}}}\, dx \]

[In]

integrate(cos(f*x+e)**6/(a+b*sec(f*x+e)**2)**(3/2),x)

[Out]

Integral(cos(e + f*x)**6/(a + b*sec(e + f*x)**2)**(3/2), x)

Maxima [F]

\[ \int \frac {\cos ^6(e+f x)}{\left (a+b \sec ^2(e+f x)\right )^{3/2}} \, dx=\int { \frac {\cos \left (f x + e\right )^{6}}{{\left (b \sec \left (f x + e\right )^{2} + a\right )}^{\frac {3}{2}}} \,d x } \]

[In]

integrate(cos(f*x+e)^6/(a+b*sec(f*x+e)^2)^(3/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate(cos(f*x + e)^6/(b*sec(f*x + e)^2 + a)^(3/2), x)

Giac [F]

\[ \int \frac {\cos ^6(e+f x)}{\left (a+b \sec ^2(e+f x)\right )^{3/2}} \, dx=\int { \frac {\cos \left (f x + e\right )^{6}}{{\left (b \sec \left (f x + e\right )^{2} + a\right )}^{\frac {3}{2}}} \,d x } \]

[In]

integrate(cos(f*x+e)^6/(a+b*sec(f*x+e)^2)^(3/2),x, algorithm="giac")

[Out]

sage0*x

Mupad [F(-1)]

Timed out. \[ \int \frac {\cos ^6(e+f x)}{\left (a+b \sec ^2(e+f x)\right )^{3/2}} \, dx=\int \frac {{\cos \left (e+f\,x\right )}^6}{{\left (a+\frac {b}{{\cos \left (e+f\,x\right )}^2}\right )}^{3/2}} \,d x \]

[In]

int(cos(e + f*x)^6/(a + b/cos(e + f*x)^2)^(3/2),x)

[Out]

int(cos(e + f*x)^6/(a + b/cos(e + f*x)^2)^(3/2), x)